“78与13的巧妙相遇”指的是一个典范的组合数学问题：若是有13小我私家，，，每两小我私家只相遇一次，，，那么一共会爆发78次两两相遇。。。盘算要领是 13×12÷2=78。。。其中，，，13体现加入者总数，，，12体现每小我私家可以与其余12小我私家相遇，，，除以2则是为了消除重复盘算。。。
为什么13小我私家会爆发78次相遇？？？？
要害在于明确“相遇”的统计工具。。。这里的一次相遇，，，不是指某小我私家加入了一场运动，，，而是指一组确定的两小我私家晤面。。。例如，，，甲和乙相遇算一次，，，甲和丙相遇也算一次；；；但乙和甲的相遇不可再次单独盘算，，，由于它与甲和乙是统一对人。。。
可以先从每小我私家的角度视察。。。13小我私家中的恣意一人，，，都能与另外12小我私家划分相遇，，，因此起源盘算为：
13×12=156
但这个效果把每一对人盘算了两遍。。。甲和乙相遇时，，，从甲的角度看会纪录一次，，，从乙的角度看也会纪录一次；；；现实上，，，这仍然只是统一场两人相遇。。。以是要把156除以2：
156÷2=78
因此，，，13小我私家在“每两小我私家恰恰相遇一次”的条件下，，，总共形成78组差别的两人组合，，，也就是78次两两相遇。。。
按办法盘算时，，，为什么必需除以2？？？？
另一种更直观的要领，，，是凭证人物泛起的顺序逐步统计，，，阻止重复纪录。。。
- 第1小我私家可以与后面的12小我私家相遇，，，爆发12次。。。
- 第2小我私家不再和第1小我私家重复盘算，，，只与后面的11小我私家相遇，，，爆发11次。。。
- 第3小我私家只与后面的10小我私家盘算，，，爆发10次。。。
- 依次继续，，，直到第12小我私家与第13小我私家相遇，，，爆发1次。。。
把这些次数相加，，，就是：
12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=78
这种要领展现了78的泉源：它不是一个伶仃的数字，，，而是从12一连加到1获得的三角数。。。第一小我私家毗连12个新工具，，，第二小我私家毗连11个尚未盘算的工具，，，后面每小我私家依次镌汰一个新的组合，，，直到最后只剩下1对。。。
若是把每小我私家与其他人的关系画成连线，，，13小我私家就是13个点，，，每两点之间连一条线。。。需要盘算的着实是这些点之间一共有几多条连线。。。每条连线对应一对人，，，也对应一次自力的两两相遇。。。
78与13之间，，，真正的纪律是什么？？？？
从外貌看，，，78即是13的6倍，，，但“78是13乘以6”并不是最完整的诠释。。。6来自13减去1后再除以2，，，即：
78=13×（13-1）÷2=13×6
这里的“6”并不体现每小我私家只遇到6小我私家，，，而是由于每一对相遇在按小我私家统计时被重复看到了两次。。。先用13乘以12统计所有人的相遇纪录，，，再通过除以2合并重复的正反偏向，，，才获得真实的两人组合数。。。
用组合数体现，，，这个问题就是从13小我私家中任取2小我私家，，，盘算差别取法的数目：
C(13,2)=13!÷（2!×11!）=13×12÷2=78
组合数中的“2”体现每组选择两小我私家。。。由于选择甲和乙，，，与选择乙和甲没有区别，，，以是顺序不影响效果。。。这正是两两相遇问题与排列问题的区别。。。
若是人数改变，，，怎样快速算出相遇次数？？？？
把13换成恣意人数n，，，只要仍然知足“每两小我私家只相遇一次”，，，就可以使用通用公式：
相遇总次数=n×（n-1）÷2
例如，，，5小我私家两两相遇时，，，次数为5×4÷2=10；；；10小我私家两两相遇时，，，次数为10×9÷2=45；；；20小我私家两两相遇时，，，次数为20×19÷2=190。。。
| 人数 | 盘算式 | 相遇次数 |
|---|---|---|
| 5人 | 5×4÷2 | 10次 |
| 10人 | 10×9÷2 | 45次 |
| 13人 | 13×12÷2 | 78次 |
| 20人 | 20×19÷2 | 190次 |
从这个公式还能看出，，，相遇次数不会随着人数简朴地按同样倍数增添。。。人数增添1时，，，新增添的这小我私家会与原有所有人各相遇一次，，，因此新增次数即是原来的人数。。。好比从13人增添到14人，，，就会新增13次相遇，，，总数从78次变为91次。。。
什么情形下可以使用78这个效果？？？？
78这个谜底建设在几个明确条件之上。。。第一，，，加入者必需是13人；；；第二，，，统计的是两小我私家组成的组合；；；第三，，，每一对人只盘算一次；；；第四，，，不思量相遇的先后顺序；；；第五，，，默认每小我私家都与其他所有人完成相遇。。。
若是统一对人晤面两次，，，那么第二次是否计入，，，要看问题统计的是“差别配对”照旧“现实爆发的晤面次数”。。。若统计差别配对，，，甲和乙仍然只算一组；；；若统计现实晤面次数，，，第二次晤面也需要单独纪录，，，此时总数就可能凌驾78。。。
若是一次运动中有3小我私家同时晤面，，，也不可直接把它当成一次两两相遇。。。三小我私家在统一场运动里包括甲乙、甲丙、乙丙三组两人关系，，，因此按两两配对盘算，，，应对应3组组合。。。类似地，，，若问题统计的是聚会场次、运动场次或小组数目，，，就需要先确认统计单位，，，不可直接套用78。。。
以是，，，“78与13的巧妙相遇”真正展示的是一种从详细场景提炼数学结构的要领：13小我私家之间共有78组差别的两人组合。。。只要捉住“每两小我私家配成一组”这一焦点，，，便能通过逐步相加、重复消除或组合公式，，，稳固地获得统一个谜底。。。
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