“78与13的巧妙相遇”指的是一个典范的组合数学问题：若是有13小我私家，，每两小我私家只相遇一次，，那么一共会爆发78次两两相遇。。。。。盘算要领是 13×12÷2=78。。。。。其中，，13体现加入者总数，，12体现每小我私家可以与其余12小我私家相遇，，除以2则是为了消除重复盘算。。。。。
为什么13小我私家会爆发78次相遇？？？？
要害在于明确“相遇”的统计工具。。。。。这里的一次相遇，，不是指某小我私家加入了一场运动，，而是指一组确定的两小我私家晤面。。。。。例如，，甲和乙相遇算一次，，甲和丙相遇也算一次；；；；；但乙和甲的相遇不可再次单独盘算，，由于它与甲和乙是统一对人。。。。。
可以先从每小我私家的角度视察。。。。。13小我私家中的恣意一人，，都能与另外12小我私家划分相遇，，因此起源盘算为：
13×12=156
但这个效果把每一对人盘算了两遍。。。。。甲和乙相遇时，，从甲的角度看会纪录一次，，从乙的角度看也会纪录一次；；；；；现实上，，这仍然只是统一场两人相遇。。。。。以是要把156除以2：
156÷2=78
因此，，13小我私家在“每两小我私家恰恰相遇一次”的条件下，，总共形成78组差别的两人组合，，也就是78次两两相遇。。。。。
按办法盘算时，，为什么必需除以2？？？？
另一种更直观的要领，，是凭证人物泛起的顺序逐步统计，，阻止重复纪录。。。。。
- 第1小我私家可以与后面的12小我私家相遇，，爆发12次。。。。。
- 第2小我私家不再和第1小我私家重复盘算，，只与后面的11小我私家相遇，，爆发11次。。。。。
- 第3小我私家只与后面的10小我私家盘算，，爆发10次。。。。。
- 依次继续，，直到第12小我私家与第13小我私家相遇，，爆发1次。。。。。
把这些次数相加，，就是：
12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=78
这种要领展现了78的泉源：它不是一个伶仃的数字，，而是从12一连加到1获得的三角数。。。。。第一小我私家毗连12个新工具，，第二小我私家毗连11个尚未盘算的工具，，后面每小我私家依次镌汰一个新的组合，，直到最后只剩下1对。。。。。
若是把每小我私家与其他人的关系画成连线，，13小我私家就是13个点，，每两点之间连一条线。。。。。需要盘算的着实是这些点之间一共有几多条连线。。。。。每条连线对应一对人，，也对应一次自力的两两相遇。。。。。
78与13之间，，真正的纪律是什么？？？？
从外貌看，，78即是13的6倍，，但“78是13乘以6”并不是最完整的诠释。。。。。6来自13减去1后再除以2，，即：
78=13×（13-1）÷2=13×6
这里的“6”并不体现每小我私家只遇到6小我私家，，而是由于每一对相遇在按小我私家统计时被重复看到了两次。。。。。先用13乘以12统计所有人的相遇纪录，，再通过除以2合并重复的正反偏向，，才获得真实的两人组合数。。。。。
用组合数体现，，这个问题就是从13小我私家中任取2小我私家，，盘算差别取法的数目：
C(13,2)=13!÷（2!×11!）=13×12÷2=78
组合数中的“2”体现每组选择两小我私家。。。。。由于选择甲和乙，，与选择乙和甲没有区别，，以是顺序不影响效果。。。。。这正是两两相遇问题与排列问题的区别。。。。。
若是人数改变，，怎样快速算出相遇次数？？？？
把13换成恣意人数n，，只要仍然知足“每两小我私家只相遇一次”，，就可以使用通用公式：
相遇总次数=n×（n-1）÷2
例如，，5小我私家两两相遇时，，次数为5×4÷2=10；；；；；10小我私家两两相遇时，，次数为10×9÷2=45；；；；；20小我私家两两相遇时，，次数为20×19÷2=190。。。。。
| 人数 | 盘算式 | 相遇次数 |
|---|---|---|
| 5人 | 5×4÷2 | 10次 |
| 10人 | 10×9÷2 | 45次 |
| 13人 | 13×12÷2 | 78次 |
| 20人 | 20×19÷2 | 190次 |
从这个公式还能看出，，相遇次数不会随着人数简朴地按同样倍数增添。。。。。人数增添1时，，新增添的这小我私家会与原有所有人各相遇一次，，因此新增次数即是原来的人数。。。。。好比从13人增添到14人，，就会新增13次相遇，，总数从78次变为91次。。。。。
什么情形下可以使用78这个效果？？？？
78这个谜底建设在几个明确条件之上。。。。。第一，，加入者必需是13人；；；；；第二，，统计的是两小我私家组成的组合；；；；；第三，，每一对人只盘算一次；；；；；第四，，不思量相遇的先后顺序；；；；；第五，，默认每小我私家都与其他所有人完成相遇。。。。。
若是统一对人晤面两次，，那么第二次是否计入，，要看问题统计的是“差别配对”照旧“现实爆发的晤面次数”。。。。。若统计差别配对，，甲和乙仍然只算一组；；；；；若统计现实晤面次数，，第二次晤面也需要单独纪录，，此时总数就可能凌驾78。。。。。
若是一次运动中有3小我私家同时晤面，，也不可直接把它当成一次两两相遇。。。。。三小我私家在统一场运动里包括甲乙、甲丙、乙丙三组两人关系，，因此按两两配对盘算，，应对应3组组合。。。。。类似地，，若问题统计的是聚会场次、运动场次或小组数目，，就需要先确认统计单位，，不可直接套用78。。。。。
以是，，“78与13的巧妙相遇”真正展示的是一种从详细场景提炼数学结构的要领：13小我私家之间共有78组差别的两人组合。。。。。只要捉住“每两小我私家配成一组”这一焦点，，便能通过逐步相加、重复消除或组合公式，，稳固地获得统一个谜底。。。。。
